CUET: संख्या प्रणाली (Number System) आसानी से समझें - नोट्स & ट्रिक्स (Hindi) | SuccessCurve

CUET जनरल टेस्ट: संख्या प्रणाली (Number System) की पूरी समझ

संख्या प्रणाली का परिचय

संख्या प्रणाली (Number System) गणित के मूलभूत विषयों में से एक है और CUET जनरल टेस्ट जैसी प्रतियोगी परीक्षाओं में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। इस अवधारणा की ठोस समझ छात्रों को सटीकता और कुशलता से समस्याओं को हल करने में मदद करती है। संख्या प्रणाली विभिन्न गणितीय कार्यों, तार्किक तर्क कार्यों और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों का आधार है, जो इसे अध्ययन का एक अनिवार्य क्षेत्र बनाती है।

आइए, इस महत्वपूर्ण टॉपिक को आसान भाषा में समझें ताकि आप CUET परीक्षा में आत्मविश्वास के साथ प्रश्नों का सामना कर सकें!

संख्याओं के प्रकार (Types of Numbers)

संख्या प्रणाली में सामान्य रूप से सामने आने वाली विभिन्न प्रकार की संख्याओं को समझते हैं:

1. प्राकृतिक संख्याएँ (Natural Numbers - N)

परिभाषा: गिनती की संख्याएँ जो 1 से शुरू होती हैं और आगे बढ़ती हैं: 1, 2, 3, 4, ...

उदाहरण: 5, 17, 86

मुख्य गुण: इनमें 0 या ऋणात्मक संख्याएँ शामिल नहीं होती हैं।

2. पूर्ण संख्याएँ (Whole Numbers - W)

परिभाषा: सभी प्राकृतिक संख्याएँ 0 के साथ: 0, 1, 2, 3, ...

उदाहरण: 0, 12, 50

मुख्य गुण: ये 0 से शुरू होती हैं और इनमें भिन्न या ऋणात्मक संख्याएँ शामिल नहीं होती हैं।

3. पूर्णांक (Integers - Z)

परिभाषा: सभी धनात्मक संख्याएँ, उनकी ऋणात्मक संख्याएँ और 0: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

उदाहरण: -7, 0, 15

मुख्य गुण: इनमें ऋणात्मक पूर्ण संख्याएँ और शून्य शामिल हैं।

4. परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers - Q)

परिभाषा: वे संख्याएँ जिन्हें भिन्न $\frac{p}{q}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $p$ और $q$ पूर्णांक हैं और $q \neq 0$।

उदाहरण: $\frac{1}{2}, -\frac{4}{3}, 5$ (क्योंकि $5 = \frac{5}{1}$)

मुख्य गुण: ये सांत (terminating) या आवर्ती (repeating) दशमलव हो सकती हैं।

5. अपरिमेय संख्याएँ (Irrational Numbers)

परिभाषा: वे संख्याएँ जिन्हें भिन्न के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है और जिनका दशमलव निरूपण असांत (non-terminating) और अनावर्ती (non-repeating) होता है।

उदाहरण: $\sqrt{2}, \pi, e$

मुख्य गुण: इन्हें $\frac{p}{q}$ के रूप में नहीं लिखा जा सकता जहाँ $p, q \in \mathbb{Z}$ और $q \neq 0$।

6. वास्तविक संख्याएँ (Real Numbers - R)

परिभाषा: सभी परिमेय और अपरिमेय संख्याओं का संयोजन। मूल रूप से, कोई भी संख्या जिसे संख्या रेखा पर दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण: -3, 0, 0.5, $\pi$, $\sqrt{7}$

मुख्य गुण: संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु एक अद्वितीय वास्तविक संख्या से मेल खाता है।

7. अभाज्य संख्याएँ (Prime Numbers)

परिभाषा: 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या जिसके केवल दो गुणनखंड होते हैं: 1 और स्वयं वह संख्या।

उदाहरण: 2, 3, 5, 7, 11

मुख्य गुण: सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है (एकमात्र सम अभाज्य संख्या)।

8. भाज्य संख्याएँ (Composite Numbers)

परिभाषा: 1 से बड़ी एक प्राकृतिक संख्या जिसके दो से अधिक गुणनखंड होते हैं।

उदाहरण: 4, 6, 8, 9

मुख्य गुण: भाज्य संख्याओं को छोटे पूर्णांकों में गुणनखंडित किया जा सकता है।

9. सम संख्याएँ (Even Numbers)

परिभाषा: वे संख्याएँ जो 2 से विभाज्य हों।

उदाहरण: 2, 4, 6, 8, 10

मुख्य गुण: प्रत्येक सम संख्या 0, 2, 4, 6, या 8 में समाप्त होती है।

10. विषम संख्याएँ (Odd Numbers)

परिभाषा: वे संख्याएँ जो 2 से विभाज्य न हों।

उदाहरण: 1, 3, 5, 7, 9

मुख्य गुण: प्रत्येक विषम संख्या 1, 3, 5, 7, या 9 में समाप्त होती है।

11. सह-अभाज्य संख्याएँ (Co-prime Numbers)

परिभाषा: दो संख्याएँ सह-अभाज्य कहलाती हैं यदि उनका HCF (महत्तम समापवर्तक) 1 हो।

उदाहरण: 15 और 28 (HCF = 1)

मुख्य गुण: सह-अभाज्य संख्याओं का स्वयं अभाज्य होना आवश्यक नहीं है।

12. पूर्ण वर्ग और घन (Perfect Squares and Cubes)

पूर्ण वर्ग: पूर्णांकों का वर्ग करके प्राप्त संख्याएँ।

उदाहरण: $1^2 = 1, 2^2 = 4, 3^2 = 9$

पूर्ण घन: पूर्णांकों का घन करके प्राप्त संख्याएँ।

उदाहरण: $1^3 = 1, 2^3 = 8, 3^3 = 27$

13. HCF (महत्तम समापवर्तक)

परिभाषा: वह सबसे बड़ी संख्या जो दो या दो से अधिक संख्याओं को बिना शेष छोड़े विभाजित करती है।

उदाहरण: 24 और 36 का HCF 12 है।

मुख्य गुण: HCF हमेशा सबसे छोटी संख्या के बराबर या उससे कम होता है।

14. LCM (लघुत्तम समापवर्त्य)

परिभाषा: वह सबसे छोटी संख्या जो दो या दो से अधिक संख्याओं का गुणज हो।

उदाहरण: 4 और 6 का LCM 12 है।

मुख्य गुण: LCM हमेशा सबसे बड़ी संख्या के बराबर या उससे अधिक होता है।

स्थान मान और अंकित मान (Place Value and Face Value)

स्थान मान (Place Value):

परिभाषा: किसी संख्या में किसी अंक का मान उसके स्थान के आधार पर।

उदाहरण: 345 में, 4 का स्थान मान 40 (दहाई स्थान) है।

अंकित मान (Face Value):

परिभाषा: किसी अंक का वास्तविक मान।

उदाहरण: 345 में, 4 का अंकित मान 4 है।

नियम और टिप्स (Rules and Tips)

विभाज्यता के नियम (Divisibility Tests - 2 से 11):

• 2 से विभाज्य: अंतिम अंक सम (0, 2, 4, 6, 8) हो।
• 3 से विभाज्य: अंकों का योग 3 से विभाज्य हो।
• 4 से विभाज्य: अंतिम दो अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य हो।
• 5 से विभाज्य: अंतिम अंक 0 या 5 हो।
• 6 से विभाज्य: संख्या 2 और 3 दोनों से विभाज्य हो।
• 7 से विभाज्य: अंतिम अंक को दोगुना करें और शेष संख्या से घटाएं। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है, तो संख्या भी है।
• 8 से विभाज्य: अंतिम तीन अंकों से बनी संख्या 8 से विभाज्य हो।
• 9 से विभाज्य: अंकों का योग 9 से विभाज्य हो।
• 10 से विभाज्य: अंतिम अंक 0 हो।
• 11 से विभाज्य: अंकों को एकांतर रूप से घटाएं और जोड़ें। यदि परिणाम 0 या 11 से विभाज्य है, तो संख्या भी है।

अभाज्य गुणनखंडन (Prime Factorization):

चरण:

1. संख्या को सबसे छोटी अभाज्य संख्या से विभाजित करें।
2. परिणाम 1 आने तक अभाज्य संख्याओं से विभाजित करना जारी रखें।

उदाहरण: 56 का अभाज्य गुणनखंडन = $2 \times 2 \times 2 \times 7 = 2^3 \times 7$

HCF और LCM ज्ञात करना:

HCF के लिए शॉर्टकट ट्रिक: यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करें (छोटी संख्या को बड़ी संख्या से बार-बार घटाएं जब तक कि 0 न पहुंच जाए; गैर-शून्य संख्या HCF है)।

LCM के लिए शॉर्टकट ट्रिक:

LCM = (संख्याओं का गुणनफल) / HCF

LCM = Product of NumbersHCF

महत्वपूर्ण सूत्र और गुण (Important Formulas and Properties)

पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग:

S = n(n+1)2

पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग:

S = n(n+1)(2n+1)6

पहले $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग:

S = (n(n+1)2)2

हल किए गए उदाहरण (Solved Examples)

1. 12 और 18 का LCM ज्ञात करें।

अभाज्य गुणनखंडन: $12 = 2^2 \times 3$, $18 = 2 \times 3^2$

LCM = उच्चतम घातें लेना = $2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$

2. 36 और 60 का HCF ज्ञात करें।

अभाज्य गुणनखंडन: $36 = 2^2 \times 3^2$, $60 = 2^2 \times 3 \times 5$

HCF = न्यूनतम उभयनिष्ठ घातें लेना = $2^2 \times 3 = 4 \times 3 = 12$

त्वरित हल करने की ट्रिक्स (Quick-Solving Tricks)

• गुणनखंडों को जल्दी से पहचानने के लिए विभाज्यता नियमों का उपयोग करें।
• अभाज्य गुणनखंडन HCF और LCM को तेजी से खोजने में मदद करता है।
• अंतिम अंक या अंकों के योग की जाँच करके विकल्पों को हटा दें (Elimination Method)।

अभ्यास प्रश्न (Practice Questions)

1. 24 और 30 का LCM ज्ञात करें।
2. 48 और 64 का HCF क्या है?
3. पहचानें कि 187 एक अभाज्य संख्या है या नहीं।
4. जांचें कि 56, 4 और 7 से विभाज्य है या नहीं।
5. 100 के सभी गुणनखंडों की सूची बनाएं।

उत्तर (Answers):

1. 120

2. 16

3. नहीं (11 × 17 = 187)

4. हाँ (अंतिम दो अंक 56, 4 से विभाज्य; 56 = 7 × 8)

5. 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

इन प्रश्नों का अभ्यास आपकी समझ को मजबूत करेगा और परीक्षा में गति बढ़ाएगा!

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